巧用数形结合思想,妙解高考数学客观题

  巧用数形结合思想,妙解高考数学客观题

   福建省南安市教师进修学校 (362300) 陈俊斌

   数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面.数形结合是数学解题中常用的思想方法,浏览近几年全国各省高考数学试题,数形结合思想的考查以客观题为主.运用数形结合思想,能使某些抽象数学问题直观化、形象化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题本质,激发解题灵感,大大优化解题过程,本文拟通过5道高考数学客观题例说数形结合思想的巧妙使用。

   1、函数图形的对称问题

   函数图像具有直观生动的特征,从其上我们能获取一些有用信息,如与坐标轴的交点,函数值的变化情况,变化趋势等,有时若能由形思数,利用图像的对称性来解决问题,也能起到意想不到的结果。

   点评:本题若使用常规方法,需依次求出ω,A,才能求出j(0),计算量大且容易出错,这里借助余弦函数图像的对称性来求解则显得简便快捷,省时高效!

   2、曲线与方程问题

   对本身是以几何元素和几何背景建立起来的一些概念,如向量、复数、三角函数、直线的斜率等,这时可“由数思形”,寻求代数式的图形背景及相关几何性质.在曲线与方程之间建立对应关系。

   例2(2013高考安徽·理8)函数y=f(x)的图像如图2所示,在区间[a,b]上可找到n(n>2)

与原点连线的斜率相等,亦即过原点的直线与曲线y=f(x)有n个交点,故该问题转化为直线与曲线的交点个数问题.后“以形助教”、“数形结合”即可求出n的取值范围是{2.3.4}。

   3、方程的根个数问题

   一些方程,不需要求出具体的根,或直接求解很艰难.这时“由数思形”,可转化为相对应的函数图像的交点个数问题,再借助函数图像的直观性,达到“以形助数”,轻松求解问题的目的。

   4、含参不等式问题

   有些不等式尤其是含参不等式用常规方法难以解决,这时可以适当地转化,利用函数的观点看问题,“由数到形”,观察函数图像的特征,挖掘出不等式或不等式组,数形结合,从而求出参数的取值范围。

本解法先是巧妙地把所给含参不等式转化成两个函数值的符号相同问题,后通过作图,观察它们的共同特征,数形结合地得出它们的另一个交点位置是确定的,从而有效地避免了传统解法的分类及繁杂的数学运算及推理,顺利求出参数a的值。

   5、质点碰撞问题

   光的反射问题事实上就是数学中的角相等问题,当把光的反射规律迁移到质点的弹性碰撞时,仍有“入射角等于反射角”成立,这时,我们若能结合数学知识进行推理,准确作图,就能顺利解决问题。

对称性可知,点P共与正方形边碰撞14次,可再1次回到点E。而此种解法,计算量大而繁杂,在时间紧、题量多的高考考试现场是不太容易算出来的。

   数学思想是对数学的本质认识,是对数学事实与理论进行抽象概括后的认识升华.数与形是数学中最基本的研究对象.数形结合是一种重要的数学思想。我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”,因此,在解题时,若能巧妙地运用数形结合思想,“由形思数”,“以数辅形”,往往能在短时间简化解题过程,培养思维的灵活性,提升解题能力。

   参考文献

   [1]许丽英,李碧荣浅析数学形结合思想在高考数学解题中的应用[J]数学教学研究,2012,(s).

   [2]徐迅 浅析数学形结合思想在高考解题巾的应用[J]数学学习与研究,2010,(1)

   [3]巾华人民共和国教育部普通高中数学课程标准(实验)[M]北京:人民教育出版社,2003.

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